如果函数列中的每个函数在(a,b)内任意一点都不连续, 那么函数列在(a,b) 内能否一致收敛于连续函数?

问 : 如果函数列 \left\{f_n(x)\right\} 中的每个函数 f_n(x)(a,b) 内任意一点都不连续, 那么函数列 \left\{f_n(x)\right\}(a,b ) 内能否一致收敛于连续函数?

答:能。例如, 函数列
f_n(x)= \begin{cases}\frac{1}{n}, & \text { 当 } \mathrm{x} \text { 是 }(0,1) \text { 内有理数, } \\ 0, & \text { 当 } \mathrm{x} \text { 是 }(0,1) \text { 内无理数 }\end{cases}

每个函数 f_n(x)(0,1) 内任意一点都个连续, 它的极限函数
f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)=\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{n} \\ 0 \end{array}\right\}=0 。 \quad x \in(0<1) 。

显然, 极限函数 f(x)=0(0,1) 内连续, 又有
\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{\sup _{x \in(0,1)}\left|f(x)-f_n(x)\right|\right\}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 \text {, }

即函数列 \left\{f_n(x)\right\}(0,1) 内一致收敛。