问: 何谓一个收敛正项级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\mathrm{n}} 比另一个收敛正项级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n 收敛的较慢? 是否存在收敛最慢的正项级数?
答: 在级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} U_n 中去掉前 \mathrm{m} 项, 即 R_m=R_{m+1}+R_{m+2}+\cdots, 称为级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} U_n 的 \mathrm{m} 项余式或 \mathrm{m} 项余和。
我们知道, 若级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} U_n 收敛, 则 \lim _{m \rightarrow \infty} \mathrm{Rm}=0.
设收敛正项级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 与 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n 的 \mathrm{m} 项余式分别是 \mathrm{Am} 与 \mathrm{Bm}. 若 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3} \mathrm{Am} 比 \mathrm{Bm} 是高阶无穷小 \left(\mathrm{m} \rightarrow \infty\right. ), 即: \lim _{m \rightarrow \infty} \frac{A_m}{B_m}=0, 称级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n 比级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 收敛得较慢（即趋向于 0 的速度比 \mathrm{Am} 趋向于 0 的速度较慢) 或级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 比级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n 收敛得较快。
例如, 有两个收敛级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} 与 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}. 因为
\frac{B_m}{A_m}=\frac{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{m+k}}}{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{m+k}}}=\frac{3}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{m+1} \rightarrow 0(m \rightarrow \infty),
所以级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} 与级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} 收敛得较慢。
重要的是, 对任意正项收敛级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n, 总能构造一个比级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 收敛得慢的级数。事实上, 设 \mathrm{Am} 是收敛级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 的 \mathrm{m} 项余式。级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\sqrt{A_n}-\sqrt{A_{n+1}}\right),\left(A_n=0\right) 也是收敛级数, 设它的 m 项余式是 B_n, 即
\mathrm{Bn}=\left(\sqrt{A_m}-\sqrt{A_{m+1}}\right)+\left(\sqrt{A_{m+1}}-\sqrt{A_{m+2}}\right)+\cdots=\sqrt{A_m}
有 \frac{A_m}{B_m}=\frac{A_m}{\sqrt{A_m}}=\sqrt{A_m} \rightarrow 0(m \rightarrow \infty),
即收敛级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\sqrt{A_n}-\sqrt{A_{n+1}}\right) 比收敛级数 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{P_n}{S_n}=0 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 收敛得较慢。
这个事实说明, 正项收敛级数中没有收敛最慢的级数。
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