问 : 判别函数列 \left\{f_x(x)\right\} 在区间 \boldsymbol{I} 上一致收敛有哪些判别法?
答：函数列 \left\{f_x(x)\right\} 在区间 \mathrm{I} 上一致收敛（设极限函数是 \mathrm{f}(\mathrm{x}) ）有以下四个等价叙述:
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定义
\forall \varepsilon>0, \exists N \in N, \forall n>N, \forall x \in I \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon . -
柯西一致收敛准则
\forall \varepsilon>0, \exists N \in N, \forall n>N, \forall p \in N, \forall x \in I \Rightarrow \left|f_n(x)-f_{n+p}(x)\right|<\varepsilon . -
“确界极限”
\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\sup _{x \in I}\left|f(x)-f_n(x)\right|\right)=0 . -
“点列极限”
对任意数列
\left\{x_n\right\}, x_n \in I, n=1,2, \cdots, 有 \lim_{n \rightarrow \infty}\left|f\left(x_n\right)-f_n\left(x_n\right)\right|=0 .
以上两个一致收敛的等价叙述, 每个都是函数列 \left\{f_n(x)\right\} 在区间 I 上一致收敛的判别法, 一般来说, 当函数列 \left\{f_n(x)\right\} 的极限函数 f(x) 容易求得时, 判别一致收敛应用 “确界极限” 比较简便。例如,
函数列 \left\{x^n e^{-n^2 x}\right\} 对于 \forall x \in[0,+\infty), 有极限函数
f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} x^n e^{-n^2 x}=0 .
\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\sup _{x \in[0,+\infty)}\left|f(x)-f_n(x)\right|\right) =\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\sup _{x \in[0,+\infty)} x^n e^{-n^2 x}\right) \leq \lim_{n \rightarrow \infty} e^{-n}=0,
即函数列 \left\{x^n e^{-n^2 x}\right\} 在 [0,+\infty) 上一致收敛。
判别函数列非一致收敛应用 “点列极限” 4)比较简便。只须找到某个数列 \left\{x_n^{\prime}\right\}, x_n^{\prime} \in I, n=1,2, \cdots, 有 \lim_{n \rightarrow \infty} \mid f\left(x_n^{\prime}-f_n\left(x_n^{\prime}\right) \mid>0\right. 即可.
例如, 函数列 \left\{\frac{n x}{n^2+(n+1) x}\right\} 对于 \forall x \in(0,+\infty), 有极限函数 f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n x}{n^2+(n+1) x}=0 .
但在 (0,+\infty) 内取数列 \{n\}, 有 \lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{n \bullet n}{n^2+(n+1) n}\right|=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{2 n^2+n}=\frac{1}{2}>0,
所以函数列 \left\{\frac{n x}{n^2+(n+1) x}\right\} 在 (0,+\infty) 内非一致收敛。
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