怎样求 “缺项” 的幂级数的收敛半径?

问: 怎样求 “缺项” 的幂级数的收敛半径?

答:如果幂级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n 不 “缺项”, 即 a_n \neq 0, n \in N, 则根据定理 2 不难求出它的收敛半径 r. 如果幂级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n 是 “缺项” 的, 即 a_n=0, n_1<n_2<\cdots n<\cdots, 一般来说, 求它的收敛半径不能应用定理 2, 此时可直接应用正项级数的达朗贝尔判别法与柯西判别法求其收敛半径。
例如, 幂级数

  1. \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}
    \lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{x^{2 n+3}}{(2 n+3)!}\right| /\left|\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}\right|=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|x|^2}{2 n+3}=0
    它的收敛半径是 r=+\infty

  2. \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n x^{2 n}
    \lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{2^{n+1} x^{2 n+2}}{2^n x^{2 n}}\right|=\lim_{n \rightarrow \infty} 2 x^2=2 x^2<1,|x|<\frac{1}{\sqrt{2}}
    它的收敛半径 r=\frac{1}{\sqrt{2}}

  1. \sum_{3=0}^{\infty} x^{n!}
    \lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{x^{(n+1)!}}{x^{n!}}\right|=\lim_{n \rightarrow \infty}|x|^{n \cdot n!}=0,|x|<1
    它的收敛半径 \mathrm{r}=1.

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