n 维空间有哪些特性?

问 . n 维空间有哪些特性?
答:n 维空间 R^n 就是 n 个有序实数组的集合 \left\{\left(x^1, x^2, \cdots, x^n\right) \mid x_k \in R, k=1,2, \cdots, n\right\}, 通常称为 n 维欧几里得 (Euclid) 空间, 简称为 n 维欧氏空间或 n 维空间。对 n 维空间
R^n 中的元素 x, 可将它看作是具有 n 个坐标 x_1, x_2, \cdots, x_n 的一个点; 也可将它看作是具有 \mathrm{n} 个分量为 x_1, x_2, \cdots, x_n 的一个向量。虽然, 在 \mathrm{n} 维空间中, 点与向量被视为同一, 但是侧重点不同。在数学分析教材中不加区别, 视讨论的具体问题而定。

n(n \geq 2) 维空间是在一维空间的基础上推广、发展而来, 当然它要继承与保留一维空间的某些性质, 但由于单与多的差异, 自然它也要产生某些新的特性。这些特性多与连通性有关。我们以二维空间为例。介绍多维空间的特性。

定义\mathrm{G} 是平面区域, \mathrm{G} 内的任意闭折线所包围的内部点集都属于 \mathrm{G}, 则称 \mathrm{G} 是单连通区域。否则, 称为复 (多) 连通区域

一维空间 \mathrm{R} 的连通集必是区间(开, 闭, 半开, 无限), 而二维空间 R^2 的连通集不一定是单连通, 可能是复连通。

一维空间 \mathrm{R} 中的闭区间 [a, b], 端点 \mathrm{a} (或 \mathrm{b} )与区间内任意点 c \in(a, b) 总能用属于闭区间 [a, c] (或 [c, b] ) 连接起来, 而二维空间 R^2 中的闭区域 \mathrm{G} 的边界点与 \mathrm{G} 的某个内点不一定能用属于 \mathrm{G} 的内部的折线连接起来。例如, 下列曲线与直线、直线段:
y=\cos \frac{1}{x}, y=-2, x=-\frac{2}{\pi},\{(0, y) \mid-1 \leq y \leq 1\}
所围成的闭区域 G。y 轴上的点集 \{(0, y) \mid-1 \leq y \leq 1\} 都是边界点。任取一点 (0, y)(-1 \leq y \leq 1)\mathrm{G} 的任意内点 (x, y) 都不能用属于 \mathrm{G} 的内部折线将边界点 (x, y_1) 与内点 (x, y) 连接起来。因此,定理(介值性)的证明要分三种情况。

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