问 . 研究多元函数有哪些基本方法?
答：从总的方面说, 研究多元函数有两种基本方法: 一是多重法（多元法), 一是累次法（一元法）。
\mathrm{n} 元函数 y=\mathrm{f}\left(x 1, x 2, \ldots, x_n\right){ }_{\mathrm{n}} \geq 2, 它有 \mathrm{n} 个自变量, 它们是彼此无关独立变化的。研究 \mathrm{n} 元函数考虑 \mathrm{n} 个自变量同时变化, 这就是多重法。
一般来说, 凡涉及多元函数一些重要概念和理论多是采用多重法。例如, 多元函数的极限、连续、可微、重积分、线、面积分等。为了某种需要, 研究 \mathrm{n} 元函数暂令其中某一个变量变化, 其余的变量都看作常数, 即将 \mathrm{n} 元函数化为一元函数, 如此逐个变量处理 \mathrm{n} 次, 这就是累次法。
一般来说, 凡涉及 \mathrm{n} 元函数的某些计算多采用累次法。例如，多元函数的累次极限、偏导数、累次积分，等。
我们知道, 多元函数的整体性质并不能简单地化成多重 “单” 的性质, 但是在一定条件下是可能的。因此，在多元函数的微积分中，有一些将 “多” 化为 “单” 的定理。例如，重极限化为累次极限的定理, 全微分化为偏导数的定理, 重积分化为累次积分的定理, 等等。研究多元函数的许多性质常是两种方法混合使用。
研究二元函数 \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})(一般是 \mathrm{n} 元函数) 在两点 \mathrm{A}(\mathrm{x} 1, \mathrm{y} 1) 与 \mathrm{B}(\mathrm{x} 2, \mathrm{y} 2) 上的函数值之差 \Delta=\mathrm{f}\left(x_1, y_1\right)-f\left(x_2, y_2\right) .
用累次法将 “多”化为 “单”, 又有两个方法:
一是折线法。补加一点 \mathrm{C}\left(x_1, y_2\right) （或 \mathrm{f}\left(x_2, y_1\right) ), 要求线段 \mathrm{AC} 与 \mathrm{CB} 属于函数 \mathrm{f}(x, y) 的定义域. 有
\Delta=\left[\mathrm{f}\left(x_1, y_1\right)-\mathrm{f}\left(x_1, y_2\right)\right]+\left[\mathrm{f}\left(x_1, y_2\right)-\mathrm{f}\left(x_2, y_2\right)\right] .
上式等号的右端, 第一个方括号内仅变数 \mathrm{y} 有改变 \left(\mathrm{x}={x_1}\right. ), 第二个括号内仅变数 \mathrm{x} 有改变 \left(\mathrm{y}=y_2\right). 可分别看作是一元函数。不少练习题证明都是使用的这个方法。
二是直线法, 将线段 \mathrm{AB} 表为参数 \mathrm{t} 的参数方程
\left\{\begin{array}{l}
x=x_1+t\left(x_2-x_1\right), \\
y=y_1+t\left(y_2-y_1\right) .
\end{array} \quad 0 \leq t \leq 1 .\right.
当 \mathrm{t}=0 时, 对应点 A\left(x_1, y_1\right), 当 \mathrm{t}=1 时, 对应点 B\left(x_2, y_2\right). 设
f(x, y)=f\left[x_1+t\left(x_2-x_1\right), y_1+t\left(y_2-y_1\right)\right]=\varphi(t) \text {. }
于是, 将点 (x, y) 限制在线段 A B 上, 二元函数（一般是 \mathrm{n} 元函数） f(x, y) 就化为 \mathrm{t} 的一元函数 \varphi(t). 泰勒公式的证明就是使用的这个方法.
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