问 . 方程 F(x, y)=x^2+y^2-a^2=0 在区间 [-a, a] 上是否只有两个隐函数 y=\sqrt{a^2-x^2} 与 y=-\sqrt{a^2-x^2} ?
答：否。例如, 函数
y=g(x)=\left\{\begin{array}{lll}
\sqrt{a^2-x^2} & \text { 当 } \mathrm{x} \text { 是 }[-a, a] & \text { 上有理数, } \\
-\sqrt{a^2-x^2} & \text { 当 } \mathrm{x} \text { 是 }[-a, a] & \text { 上无理数 }
\end{array}\right.
与
y=h(x)=\left\{\begin{array}{lll}
\sqrt{a^2-x^2}, & \text { 当 } & x \in[0, a), \\
-\sqrt{a^2-x^2} & \text { 当 } & x \in[-a, 0),
\end{array}\right.
都是方程 F(x, y)=x^2+y^2-a^2=0 F(x, y)=0 在 [-a, a] 上的隐函数, 即
F[x, g(x)] \equiv 0, F[x, h(x)] \equiv 0 \text {. }
按照同样的方法还能写出一些满足方程 F(x, y)=0 的隐函数。不难看到, 这些隐函数 y=g(x), y=h(x), \cdots \cdots, 在 [-a, a] 上都不连续。
我们只能说, 方程 F(x, y)=x^2+y^2-a^2=0 在区间 y= \pm \sqrt{a^2-x^2}[-a, a] 上只存在两个连续隐函数 y= \pm \sqrt{a^2-x^2} 。
一般来说, 在平面曲线 F(x, y)=x^2+y^2-a^2=0 (圆) 上任取一点 F_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0\left(x_0 \neq \pm a\right), 总存在某个领域, 在此领域内, 方程 F(x, y)=0 只存在唯一一个连续隐函数。但在点 \mathrm{a} 的左侧 [a-\delta, a] (或点 -\mathrm{a} 的右侧 [-a,-a+\delta](0<\delta<a) )上,满足方程 F(x, y)=0 的连续的隐函数不是唯一的, 此外还存在不连续的隐函数, 例如, 函数
\omega(x)=\left\{\begin{array}{lll}
\sqrt{a^2+x^2}, & \text { 当 } \mathrm{x} \text { 是 }[a-\delta, a] & \text { 上有理数, } \\
-\sqrt{a^2+x^2}, & \text { 当 } \mathrm{x} \text { 是 }[a-\delta, a] & \text { 上无理数 }
\end{array}\right.
就是方程 F(x, y)=x^2+y^2-a^2=0 在 [a-\delta, a] 上的非连续的隐函数即
F[x, \omega(x)] \equiv 0, x \in[a-\delta, a] .