问: 何谓一个发散的正项级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 比另一个发散的正项级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n 发散得较慢? 是否存在发散最慢的正项级数? }
答: 设发散正项级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 与 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n 的部分和分别是 \mathrm{Sn} 与 \mathrm{Pn}. 其部分和 \mathrm{Sn} 是比部分和 \mathrm{Pn} 高阶的无穷大 (n \rightarrow \infty), 即:
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{P_n}{S_n}=0,
称级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n 比级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 发散得慢（即 \mathrm{Pn} 趋向于无穷大的速度比 \mathrm{Sn} 趋向于无穷大的速度较慢) 或级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 比级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n 发散得较快。
例如, 有两个发散的正项级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty} q_1^n 与 \sum\limits_{n=0}^{\infty} q_2^n, 其中 1<q_2<q_1, 有
\frac{P_n}{S_n}=\frac{\sum_{k=0}^{n-1} q_2^k}{\sum_{k=0}^{n-1} q_1^k}=\frac{\frac{1-q_2^n}{1-q_2}}{\frac{1-q_1^n}{1-q}}
=\frac{q_1-1}{q_2-1}\left(\frac{q_2}{q_1}\right)^n \frac{1-\frac{1}{q_2^n}}{1-\frac{1}{q_1^n}} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty),
即发散级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty} q_2^n 比发散级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty} q_1^n 发散得较慢。
重要的是, 对任意正项发散级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n, 总能构造一个比级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 发散得较慢的级数,事实上, 设 \mathrm{Sn} 是正项的发散级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 的 \mathrm{m} 项部分和。级数
\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}\right)\left(S_0=0\right)
也是发散级数。设它的 \mathrm{n} 项部分和是 \mathrm{Pn}, 即
\quad \frac{P_n}{S}=\frac{\sqrt{S_n}}{S_n}=\frac{1}{\sqrt{S_n}} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty),
即发散级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n=\sum\left(\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}\right)\left(S_0=0\right) 比发散级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 发散得较慢。这个事实说明, 发散正项级数中没有发散最慢的级数。
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