问 : 可用哪些方法证明调和级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 的发散性?
答：有下列四种方法:
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证明调和级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 的部分和数列 \left\{S_n\right\} 的某个子数列发散。
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用柯西收敛判别法, 证明部分和数列 S_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}, 是发散的。
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证明数列 \left\{a_n\right\} :a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots \frac{1}{n}-\ln ^n 存在极限 \mathrm{c} (尤拉常数), 即
1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}=\ln n+c+a(n) .
显然, \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\lim _{n \rightarrow \infty}[\ln n+c+a(n)]=+\infty,
即调和级数发散。 -
用 (广义) 积分法, 它部分各
S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} .
由定积分的几何意义, 有
\int_1^{n+1} \frac{1}{x} d x \leq S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \frac{1}{n}.
又 \int_1^{n+1} \frac{1}{x} d x=\ln (n+1), \lim _{n \rightarrow \infty} \ln (n+1)=+\infty,
所以 \lim _{x \rightarrow \infty} S_n=+\infty
则调和级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散。
当然, 还存在别的证明方法。
值得注意的是, 调和级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散（趋近于 +\infty ) 的有慢, 尤拉曾计算过, S_{1000}=7.48 \cdots, S_{1000000}=14.39 \cdots, 等等。
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