问: 幂级数在收敛区间的端点上敛散情况如何?
答：幂级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n 在收敛区间 (-\mathrm{r}, \mathrm{r} ) 的端点一 \mathrm{r} 与 \mathrm{r} 的敛散情况很复杂:
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可能收敛也可能发散。例如,
幂级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} 的收敛区间是 (-1,1), 在端点 1, 即级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散; 在端点 -1 , 即级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} 收敛, 收敛域是 [-1,1) 。
幂级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} 的收敛区间是 (-1,1), 在端点 1 与 -1 , 即级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} 都收敛,收敛域是 [-1,1].
幂级数 n=0 \quad x^{\infty} x^{n!} 的收敛区间是 (-1,1), 在端点 1 与 -1 , 即级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} 1^{n!} \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n!} 都发散。收敛域是 (-1,1 )。 -
如果收敛, 可能绝对收敛也可能条件收敛。例如:
幂级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} x^{2 n} 的收敛区间是 (-1,1), 在端点 1 与 -1 , 即级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} 都是条件收敛。
幂级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} 的收敛区间是 (-1,1), 在端点 1 与 -1 , 即级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} 都是绝对收敛。
由引可知, 幂级数 n=0 的收敛域最小就是收敛区间, 最大只能是收敛区间再加上收敛区间的两个端点。
幂级数收敛区间的端点是幂级数收敛区间与发散点集的分界点。一般来说, 幂级数在这分界点上, 若收敛, 则收敛的速度很慢; 若发散, 则发散的速度也很慢。因此, 判别幂级数在收敛区间端点的敛性比较困难, 常常要应用更精细的敛散性判别法。通常数学分析教材不讲这些更精细的判别法。关于幂级数在收敛区间端点上的敛散性, 或不深入讨论或采用间接的方法讨论。