问: 我们知道, 幂级数逐项求导之后, 收敛半径不变, 那么它的收敛域是否也不变呢?
答：不一定。例如, 幂级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}=f(x).
f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}, f^{\prime}(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}, f^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n-1}{n} x^{n-2},
它们的收敛半径都是 1。但是, 它们的收敛域却不同:
\begin{aligned}
& f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} \text { 的收敛域是 }[-1,1] . \\
& f^{\prime}(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} \text { 的收敛域是 }[-1,1) \\
& f^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n-1}{n} x^{n-2}, \text { 的收敛域是 }(-1,1) 。
\end{aligned}
显然,(-1,1) \subset[-1,1) \subset[-1,1] 。
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