问: 幂级数在哪些区间上是一致收敛的?
答：设幂级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n 的收敛区间是 (-\mathrm{r}, \mathrm{r}).
1)幂级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n 在收敛区间 (-\mathrm{r}, \mathrm{r}) 内任意闭区间 [\mathrm{a}, \mathrm{b}] \subset(-r, r) 是一致收敛的 (定理 1), 即幂级数在其收敛区间中内闭一致收敛。
2)如果幂级数 \sum^{\infty} a_n x^n 在收敛区间 (-\mathrm{r}, \mathrm{r}) 的端点 \mathrm{r} (或 \left.-\mathrm{r}\right) 收敛, 即收敛域是 (-r, r] (或 [-r, r) ), 则幂级数 n=0 \quad a_n^{\infty} x^n 在 [0, \mathrm{r}]( 或 [-\mathrm{r}, 0]) 上一致收敛。
3)如果幂级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n 在收敛区间 (-\mathrm{r}, \mathrm{r}) 的端点 \mathrm{r}( 或 -\mathrm{r}) 发散, 则幂级数 $n=0$在 [0, r) （或 (-r, 0] )上非一致收敛。
事实上, 假设幂级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n 在 [0, r) 上一致收敛。根据定理, 有
\lim_{x \rightarrow r} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \lim_{x \rightarrow r} x^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n r^n
收敛。矛盾。