问 : 如果函数列 \left\{f_x(x)\right\} 在开区间 (a, b) 内的任意闭区间上都一致收敛（称函数列 \left\{f_x(x)\right\} 在 (a, b) 内是内闭一致收敛), 那么函数列 \left\{f_x(x)\right\} 在开区间 (a, b) 内是否是一致收敛?
答：不一定。例如, 函数列 \left\{x^n\right\} 在开区间 (0,1) 内不致收敛。事实上, \forall x \in(0,1), 极限函数 f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} x^n=0.
对任意闭区间 [a, b] \subset(0,1), 有
\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{\sup _{x \subset[a, b]}\left|f(x)-f_n(x)\right|\right\} =\lim_{n \rightarrow \infty} \max _{x \subset[a, b]}|x|=\lim_{n \rightarrow \infty} b^n=0,
即函数列 \left\{x^n\right\} 在 [a, b] \subset(0,1), 上一致收敛, 于是函数列 \left\{x^n\right\} 在开区间 (0,1) 内是内闭一致收敛的。但是, 在开区间 (0,1) 内, 有
\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{\sup _{x \subset(0,1)}\left|f(x)-f_n(x)\right|\right\} =\lim_{n \rightarrow \infty} \sup _{x \subset(0,1)}\left|x^n\right|=\lim_{n \rightarrow \infty} 1=1 \neq 0,
即函数列 \left\{x^n\right\} 在 (0,1) 内非一致收敛。