问 ：不难证明, 若函数列 \left\{f_n(x)\right\} 在有限个（m 个）开区间 \mathbf{I}(\mathbf{i}=\mathbf{1}, \mathbf{2}, \cdots, \mathbf{m}) 上都一致收敛, 则函数列 \left\{f_n(x)\right\} 在 \bigcup_{i=1}^m I_i 上还是一致收敛。当将有限个区间换成无限个区间 I_i=(i=1,2, \cdots), 函数列 \left\{f_n(x)\right\} 在 \bigcup_{i=1}^m I_i 上是否是一致收敛?
答：否 。例如, 函数列 \left\{\frac{n+1}{n} x\right\} 在 I_i=[i-1, i+1],(i=1,2, \cdots) 上的极限函数
f(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n} x=x
且 \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left\{\sup _{x \in[i-1, i+1]}\left|x-\frac{n+1 x}{n}\right|\right\}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{i+1}{n}=0,即函数列 \left\{\frac{n+1}{n} x\right\} 在 I_i(i=1,2, \cdots) 上都一致收敛, 但是函数列 \left\{\frac{n+1}{n} x\right\} 在 \bigcup_{i=1}^m I_i=[0,+\infty) 上非一致收敛。