问 : 计算二重积分时如何利用对称性?
答: 如果 \mathrm{D} 可以分为具有某种对称性的两部分 \mathrm{D}_1 和 \mathrm{D}_2 （如关于某直线对称, 关于某点对称), 则:
(1) 如果 f(x, y) 在上 D_1 各点处的值与其在 D_2 上各对称点处的值互为相反数, 那么:
\iint_D f(x, y) d \sigma=0
(2) 如果 f(x, y) 在上 D_1 各点处的值与其在 D_2 上各对称点处的值恒相等, 那么:
\iint_D f(x, y) d \sigma=2 \iint_{D_1} f(x, y) d \sigma=\iint_{D_2} f(x, y) d \sigma \text { 。 }
欢迎大家进行探讨~