问 ：举例说明格林公式在条件不全满足时结论不一定成立。
答: 例如求积分 \oint_L \frac{x d y-y d x}{x^2+y^2}, 其中 \mathrm{L} 为包含原点在内（不通过原点）的分段光滑闭曲线。设 \mathrm{L} 围成的有界区域为 \mathrm{D}, 记
P(x, y)=\frac{-y}{x^2+y^2}, \quad Q(x, y)=\frac{x}{x^2+y^2} \text {. }
假如形式地用格林公式, 则有:
\int_L \frac{x d y-y d x}{x^2+y^2}=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d \sigma=\iint_D\left(\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}-\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\right) d \sigma=0
但这种解法是错误的。因为 P(x, y) 和 Q(x, y) 在 \mathrm{D} 内的原点 (0,0) 处无定义、不连续,当然不满足格林公式成立的条件，故不能用格林公式来计算。
正确解法是：设原点 (0,0) 到 \mathrm{L} 上点的最小距离为 \mathrm{d}(\mathrm{d}>\mathrm{o}), 取 0<\mathrm{r}<\mathrm{d}. 此时 P(x, y) 和 Q(x, y) 在圆 \mathrm{C}_r: x^2+y^2=r^2 和 \mathrm{L} 所围成的闭区域 \mathrm{D}_1 上满足格林公式成立的条件, 于是有:
\int_{L+\left(-C_r\right)} \frac{x d y-y d x}{x^2+y^2}=\iint_{D_1}\left(\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}-\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\right) d \sigma=0
从而: \oint_L \frac{x d y-y d x}{x^2+y^2}=\oint_{C_r} \frac{x d y-y d x}{x^2+y^2}
因为 \mathrm{C}_r 的参数方程为: x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, \theta \in[0,2 \pi], 所以:
\oint_{C_r} \frac{x d y-y d x}{x^2+y^2}=\int_0^{2 \pi} \frac{r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)}{r^2} d \theta=2 \pi \text { 。 }
于是有: \oint_L \frac{x d y-y d x}{x^2+y^2}=2 \pi 。