问: 在变量替换下，如何确定变换后的二重积分的积分区域?
答：设变换 \mathrm{T}: x=x(u, v), y=y(u, v) 将 uv 坐标平面的有界闭区域 \Delta 一对一地映射成 x y 坐标平面上的有界闭区域 \mathrm{D} 。当 \Delta 为 \mathrm{u} 型区域时, 对每个固定的 \mathrm{u}, 得到 x y 坐标平面上的一条连续曲线
\mathrm{L}_u:\left(\begin{array}{l}
x=x(u, v) \\
y=y(u, v)
\end{array}\right.
如果 \mathrm{u} 从 \mathrm{a} 连续地增大到 \mathrm{b} 时, \mathrm{L}_u 恰好扫过积分区域 \mathrm{D}, 则 \mathrm{u} 的变化区域为 [\mathrm{a}, \mathrm{b}] 。如果对于 \mathrm{u} \in[\mathrm{a}, \mathrm{b}], \mathrm{v} 从 \varphi(u) 变到 \psi(u), 则:
\Delta=\{(u, v) \mid \varphi(u) \leq v \leq \psi(u), a \leq u \leq b\} 。
于是 \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) 在 \mathrm{D} 上的二重积分化为累次积分:
\int_a^b d u \int f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| d v 。
当 \Delta 为 \mathrm{v} 型区域时可类似讨论。