问 : 如何利用对称性简化三重积分计算?
答: 设 f(x, y, z) 在可求体积的有界闭区域 V 上连续, 而 V 可以分为具有对称性的两个部分 V_1 和 V_2 (如关于某直线对称, 关于某点对称, 关于某平面对称), 则
(1) 如果 f(x, y, z) 在 V_1 上各点处的值与其在 V_2 上各对称点处的值互为相反数, 那么:
\iiint_V f(x, y, z) d x d y d z=0 \text { 。 }
(2) 如果 f(x, y, z) 在 V_1 上各点处的值与其在 V_2 上各对称点处的值恒相等, 那么:
\iiint_V f(x, y, z) d x d y d z=2 \iiint_{V_1} f(x, y, z) d x d y d z=2 \iiint_{V_2} f(x, y, z) d x d y d z