问 . 二元函数（一般是 \mathbf{n} 元函数）的连续、偏导数、可微之间有什么关系?
答：二元函数 f(x, y) 在点 \left(x_0, y_0\right) 的连续与偏导数之间:
连续不一定偏导数存在。
例如, 函数 z=\sqrt{x^2+y^2} 在点 (0,0) 连续, 但是它在点 (0,0) 两个偏导数都不存在。事实上, 极限
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x z}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x|}{x}= \begin{cases}1, & \text { 当 } \Delta x>0, \\ -1, & \text { 当 } \Delta x<0,\end{cases}
不存在。同样极限 \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta y z}{\Delta y} 也不存在。
偏导数存在不一定连续。
例如, 函数
f(x, y)= \begin{cases}x^2+y^2, & \text { 当 } \mathrm{x}=0 \text { 或 } \mathrm{y}=0, \\ 1, & \text { 当 } x y \neq 0 .\end{cases}
在点 (0,0) 存在两个偏导数, 但是经在点 (0,0) 不连续。
二元函数 f(x, y) 在点 \left(x_0, y_0\right) 的偏导数与可微之间:
偏导数存在不一定可微。
例如, 函数 f(x, y)=\sqrt{|x y|} 在点 (0,0) 存在两个偏导数, 但是它在点 (0,0) 不可微。
可微 \rightarrow 偏导数存在（定理）。可微一定连续。