问 . 若函数 f(x, y) 存在偏导数, 但是不可微, 那么复合函数的导数公式 (x=x(t), y=y(t))
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}
是否还成立?
答：不一定。例如, 函数
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}, & \text { 当 } x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & \text { 当 } x^2+y^2=0\end{cases}
在点 (0,0) 不可微, 而 f_x^{\prime}(0,0)=f_y^{\prime}(0,0)=0.
设 x=t, y=t,复合函数 F(t)=f(t, t)=\frac{1}{\sqrt{2}} . 有 F^{\prime}(0)=\frac{1}{\sqrt{2}} .
利用上述公式, 却有 F^{\prime}(0)=f_x^{\prime}(0,0) \cdot 1+f_y^{\prime}(0,0) \cdot 1=0,即上述公式不成立。