问 . \mathbf{n} 元函数 f\left(x_1, x_2, \ldots, n_x\right) 至多能有多少个 \mathrm{k} 阶偏导数? 如果偏导数与高阶偏导数都连续, 又有多少个 \mathrm{k} 阶偏导数?
答： n 元函数 f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) 有 \mathrm{n} 个 (一阶) 偏导数, 即从 \mathrm{n} 个不同元素 \left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\} 中每次取出一个元素的排列数（也是组合组） \mathrm{A}_n^{\prime}=\mathrm{n}.
每个 (一阶) 偏导数又有 \mathrm{n} 个偏导数, 则 \mathrm{n} 元函数 f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) 有 n^2 个二阶偏导数,
即从 \mathrm{n} 个不同元素 \left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\} 中每次取出二个元素的重排列数 \mathrm{A}_{\mathrm{n}}^2=n^2.
一般情况, 从 \mathrm{n} 个不同元素 \left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\} 中每次取出 \mathrm{k} 个元素的重排列数 \mathrm{A}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}=n^{\mathrm{k}} 就是 \mathrm{n} 元函数 f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) 的 \mathrm{k} 阶偏导数的个数.
如果偏导数与高阶偏导数都连续, 根据定理, 求偏导数与顺序无关, 有 \mathrm{n} 元函数 f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right), 的二阶偏导数的个数是 \mathrm{n} 个不同元素 \left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\} 每次取出二个元素的重复组合数 c_{n+2-1}^2.
\mathrm{n} 元 f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) 的三阶偏导数的个数是 \mathrm{n} 个不同元素 \left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\} 每次取出三个元素的重复合组合数 c_{n+3-1}^3
一般情况, \mathrm{n} 元函数 f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) 的 \mathrm{k} 阶偏导数的个数是 \mathrm{n} 个不同元素 \left\{x_1, x_2, \ldots\right., \left.x_n\right\} 每次取出 \mathrm{k} 个元素的重复组合数 c_{n+k-1}^k.