问 . 在通过原点的任意直线上, 二元函数 f(x, y) 在原点取局部最小值, 那么函数 $f(x, y)$在原点是否一定取局部极小值?
答：不一定。例如, 二元函数
f(x, y)=\left(y-x^2\right)\left(y-3 x^2\right)
在过原点的任意一条直线 y=m x, 取 0 \leq m \mid \leq+\infty, 有
g(x)= f(x, m x)=\left(m x-x^2\right)\left(m x-3 x^2\right) =m^2 x^2-4 m x^3+3 x^4 .
不难验证, g^{\prime}(0)=0 。当 m \neq 0 时, g^n(0)=2 m^2>0, 即二元函数 f(x, y) 在任意一条直线 y=m x 上, 在原点 (0,0) 取局部极小值; 当 m=0 时, 即 m=0, 即 y=0, f(x, 0)=3 x^4, 当 |m|=+\infty, 即 x=0, f(0, y)=y^2. 显然, 它们在原点 (0,0) 都取局部极小值。但是, 二元函数 f(x, y) 在原点 (0,0) 并不取局部极值。
事实上, 在原点 (0,0) 领域内总存在点 (0, b)(b \neq 0) 而 f(0, b)=b^2>0. 在原点 $(0,0)领域内总在点 (a, 2 a^2) (a \neq 0)$, 而 f\left(a, 2 a^2\right)=\left(2 a^2-a^2\right)\left(2 a^2-3 a^2\right)=-a^4<0, 即函数 f(x, y) 在原点 (0,0) 不取极值。