问 . \mathrm{n} 元函数 f(x)=f\left(x^1, x^2, \cdots x^n\right) 在点 P\left(x_1^0, x_2^0, \cdots x_n^0\right) 取局部极值的必要条件是什么?充分条件是什么?
答： \mathrm{n} 元可微函数 f(x) 在点 \mathrm{P} 取局部值的必要条件是
f_{x 1}^{\prime}(p)=f_{x 2}^{\prime}(p)=\cdots=f_{x n}^{\prime}(p)=0 .
证明方法与二元函数的情况相同。从略。
因为满足 (*) 式的点 \mathrm{P} 对任意 d x_1, d x_2, \cdots d x_n 等价于
d f(p)=f_{x 1}^{\prime}(p) d x_1+f_{x 2}^{\prime}(p) d x_2+\cdots+f_{x n}^{\prime}(p) d x_n=0
所以必要条件也可简写为 d f(p)=0 \text {. }
类似的, 将满足 (*) 式的点 \mathrm{P} 称为稳定点。于是, 若 \mathrm{n} 元可微函数 f(x) 在点 $\mathrm{P}$取局部极值, 刚点 P 必是稳定点。
下面给出 \mathrm{n} 元函数 f(x) 在点 \mathrm{P} 取局部极值的充分条件:
若 \mathrm{n} 元函数 f(x) 在点 \mathrm{P} 存在一阶和二阶连续的偏导数, 且点 \mathrm{P} 是它的稳定点, 有二次型
A=\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \Delta X_i \Delta X_j\left(a_{i j} f_{x^i x^j}^n(p), i, j=1,2, \cdots n\right)
当二次型 A 时正定的, 则 f(x) 在点 \mathrm{P} 取局部极小值;
当二次型 A 时负定的,则 f(x) 在点 \mathrm{P} 取局部极大值。
当二次型 A 时不定的, 则 f(x) 在点 \mathrm{P} 有取局部极值。
证明方法, 应用 \mathrm{n} 元函数 f(x) 在点 \mathrm{P} 的二阶泰勒公式:
\begin{aligned}
& \Delta=f(p+\Delta x)-f(p)=f\left(x_1^0+\Delta x_1, \cdots, x_n^0+\Delta n\right)-f\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right) \\
& =\frac{1}{2!}\left(\Delta x_1 \frac{\partial}{\partial x}+\cdots+\Delta x_n \frac{\partial}{\partial n}\right)^2 f\left(x_1^0+\theta \Delta x, \cdots, x_n^0+\theta \Delta x_n\right),
\end{aligned}
其中 0<\theta<1.
\text { 设 } f_{x x j}^n\left(x_1^0+\theta \Delta x_1, \cdots, x_n^0+\Delta x_n\right)=f_{x_i x_j}^n\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right)+a_{i j}
且当 \Delta x_i \rightarrow 0, \cdots, \Delta x_n \rightarrow 0 时, 有 a_{i j} \rightarrow 0 。于是,
\Delta=\frac{1}{2}\left(\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \Delta x_i \Delta x_j+\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \Delta x_i \Delta z_j\right)
当 \Delta x_k(k=1,2, \cdots, n) 充分小时, \Delta 的符号由上述等式右端第一项一-关于 \Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n 的二次型 A 的符号确定。然后再应用高等代数中的二次型的知识即可。
由高等代数知:
二次型 A 是正定的必要充分条件是
a_{11}>0,\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|>0, \cdots,\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|>0 .
二次型 \mathrm{A} 是负定的必要充分条件是
a_{11}<0,\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|>0, \cdots,(-1)^n\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|>0 .