问 . 何谓向量函数?
答：当函数的自变量个数有 \mathrm{n} 个时, 这就是 \mathrm{n} 元函数, 这时自变量是 R^n 中的向量, 函数值是实数。例如:
\begin{aligned}
& f: A \rightarrow R, y=f(x), x \in A \subset R, y \in R, \\
& f: A \rightarrow R, y=f\left(x_1, x_2\right),\left(x_1, x_2\right) \in A \subset R^2, y \in R, \text { 二元函数。 } \\
& \cdots \cdots \\
& f: A \rightarrow R, y=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right),\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in A \subset R^2, y \in R, n \text { 元函数。 }
\end{aligned}
函数概念还可进一步推广。将函数值从一维 \mathrm{R} 推广到 m 维空间 R^m 的一个向量, 而自变量的个数可以是一个, 二个, \cdots, \mathrm{n} 个。
定义 设 \mathrm{A} 是 \mathrm{n} 维空间 R^n 的非空子集, 又有 m 维空间 R^m 。如果对 \mathrm{A} 中任意向量（或点) x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), 按照对应关系 \mathrm{f} 都对应 m 维空间 R^m 中唯一一个向量 (或点) y= \left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right), 则称对应关系 \mathrm{f} 是定义在 \mathrm{A} 上的 ( \mathrm{n} 元) 向量值函 (简称向量函数), 表为
f: A \rightarrow R^m \quad(A \subset R)
如果将向量函数 \mathrm{f} 用它的坐标分量表示出来, 就是 m 个 \mathrm{n} 元函数构成的函数组:
\left\{\begin{array}{l}
y_1=f_1\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \\
y_2=f_2\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \\
\cdots \cdots \\
y_m=f_m\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)
\end{array}\right.
或用向量简写为 y=f(x) 或 f=\left(f_1, f_2, \cdots, f_m\right).
显然, 我们所说的 \mathrm{n} 元函数是（ \mathrm{n} 元）向量函数的特殊情况（m=1）。
例如, 半径为 \mathrm{a} 的圆的参数方程是
y=f(x)\left\{\begin{array} { l }
{ x = a \operatorname { c o s } t , } \\
{ y = a \operatorname { s i n } t , }
\end{array} \quad \left(\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi_1(t), \\
y=\varphi_2(t),
\end{array}\right)\right.\right.
它就是函数 \varphi:[0,2 \pi) \rightarrow R^2, t \in[0,2 \pi) \subset R.
再例如，半径长分别是 \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} 的椭球面的参数方程是
\left\{\begin{array} { c }
{ x = a \operatorname { s i n } \varphi \operatorname { c o s } , } \\
{ y = b \operatorname { s i n } \operatorname { s i n } \varphi \operatorname { c o s } \theta } \\
{ z = c \operatorname { c o s } \varphi }
\end{array} \quad \left(\left\{\begin{array}{l}
x=g_1(\varphi, \theta), \\
y=g_2(\varphi, \theta), \\
z=g_3(\varphi, \theta),
\end{array}\right)\right.\right.
它就函数 g:[0, \pi) \times[0,2 \pi) \rightarrow R^3,[0, \pi) \times[0,2 \pi) \subset R^2