问. 当动点 (x, y) 沿着一条直线 y=k x 无限趋近于点 (\mathbf{0}, \mathbf{0}) 时, 函数 \mathbf{f}(x, y) 存在极限, 且相等, 能否说函数 \mathbf{f}(x, y) 在点 (\mathbf{0}, \mathbf{0}) 存在 (二重) 极限? 为什么?
答：不能。例如, 函数
f(x, y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, D=R-\{(0,0)\},
当动点 (x, y) 沿着 \mathrm{x} 轴 (\mathrm{k}=0) 或沿 \mathrm{y} 轴 (\mathrm{k}=+\infty) 无限趋近于点 (0,0) 时, 有
\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=0}} f(x, y)=0 \quad \lim\limits_{\substack{y \rightarrow 0 \\ x=0}} f(x, y)=0 \text {, }
当动点 (x, y) 沿着任意一条直线 y=k x(k \neq 0, k \neq+\infty) 无限趋近于点 (0,0) 时, 有
\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=k x}} f(x, y)=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{k x^3}{x^4+k^2 x^2}=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{k x}{x^2+k^2}=0
但是, 函数 f(x, y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2} 在点 (0,0) 并不存在极限。
事实上, 当动点 $(x, y)$沿着抛物线 y=x^2 无限趋近于点 (0,0) 时, 有
\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=x^2}} f(x, y)=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^4}{x^4+x^4}=\frac{1}{2}
出现上述情况并不奇怪, 这是因为函数 f(x, y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2} 在抛物线 y=x^2 上每一点的函数值 f\left(x, x^2\right)=\frac{1}{2}.
但是当动点 ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) 沿着任意一条直线 \mathrm{y}=\mathrm{kx} 无限趋近于点 (0,0) 时, 无论 k^2 取何值（包括 k=+\infty), 直线 y=k x 与抛物线 y=x^2 总是不同的。因此才出现上述的差异。
从极限定义来说，有 \lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)=A, 即
\begin{aligned}
& \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} f(x)=A \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall(x, y) \in D:|x-0|<\delta \\
& |y-0|<\delta \Rightarrow|f(x, y)-A|<\varepsilon
\end{aligned}
要求以点 (0,0) 为心以 2 \delta 为边长的去心方形邻域 V_\delta=\{(x, y)|| x-0 \mid<\delta \text { 与 }|\mathrm{y}-0|<\delta,(x, y) \neq(0,0)\} 内所有的点 (x, y), 不仅直线 y=k x 上的点, 也包括抛物线 y=x^2 的点, 都要满足不等式 |f(x, y)-A|<\varepsilon
对函数 f(x, y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2} 在点 (0,0) 存在这样的 A。事实上, 当 A=0 时,
\exists \frac{1}{4}>0, \forall \delta>0, \exists\left(x_0, x_0^2\right) \in D:\left|x_0-0\right|<\delta
（当 \left|x_0\right|<1 时, 当然也有 \left.\left|x_0^2-0\right|<\delta\right) \Rightarrow\left|f\left(x_0, x_0^2\right)-0\right|=\left|\frac{x_0^4}{x_0^4+x_0^4}-0\right|=\frac{1}{2}>\frac{1}{4}
\begin{gathered}
\text { 当 } A \neq 0 \text { 时, } \exists \frac{|A|}{2}>0, \forall \delta>0, \exists\left(x_0, k x_0\right) \in D:\left|x_0-0\right|<\delta \\
\left.\left|k x_0-0\right|<\delta\right) \Rightarrow\left|f\left(x_0, k x_0\right)-A\right|=\left|\frac{k x_0}{x_0^2+k^2}-A\right|>\frac{|A|}{2}
\end{gathered}
（因为，当 k=0, k=+\infty 时，显然成立; 当 k \neq 0 \text { 时 } \lim\limits_{x_0 \rightarrow 0} \frac{k x_0}{x_0^2+k^2}=0.