问 . 函数 f(x, y) 的二重极限与累次极限有什么区别? 有什么联系?
答：一般来说, 二重极限与累次极限没有关系。已举例说明:
两个累次极限都存在, 且相等（或一个存在, 另一个不存在), 二重极限也可能不存在。
二重极限存在, 但是两个累次极限能存在（或一个存在, 另一个不存在)。
这是因为二重极限与累次极限是分别独立定义的。它们的定义没有必然的联系。
函数 f(x, y) 在点 A\left(x_0, y_0\right) 的二重极限汲及点 A\left(x_0, y_0\right) 邻域内 (仅考虑函数 f(x, y) 定义域的) 所有点。累次极限不同, 它是每次只考虑一个变量变化 (其余变量暂看作常数) 的一元函数的极限。例如 \lim\limits_{y \rightarrow y_0} \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x, y)=b
首先只考虑 x \rightarrow x_0 ( y 暂看作常数) 有 \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x, y)=\varphi(y)
其次令 y \rightarrow y_0, 有 \lim\limits_{y \rightarrow y_0} \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x, y)=\lim_{y \rightarrow y_0} \varphi(y)=b
这个累次极限, 对任意 y, 动点 P(x, y) 沿着折线 PCA 无限趋近于 A\left(x_0, y_0\right) 。同理, 累次极限
\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \lim\limits_{y \rightarrow y_0} f(x, y)=e
对任意 \mathrm{x},动点 P(x, y) 沿着折线 PCA 无限趋近于 A\left(x_0, y_0\right) 。显然, 二重极限存在与累次极限存在的基础是不同的。
因为二元函数在一点的累次极限是连续进行二次一元函数的极限, 而计算一元函数的极限正是我们所熟悉的, 所以我们希望能将二重极限的计化为累次极限, 但是这需要一定的条件。定理就是给出了将二重极限化为累次极限的条件。一般来说, 我们所遇到的二元函数都能满足这个条件, 从而计算二重极限可以化为计算它的累次极限。
累次极限有还有另一方面的应用, 可用它表示某些非初等函数。
例如, 狄利克莱函数 \mathrm{D}(\mathrm{x}) 可表为二重极限, 即
D(x)=\lim\limits_{m \rightarrow \infty} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}[\cos m!\pi x]<1,
显然, 当 x 是无理数时,
\forall m \in N,|\cos m!\pi x|<1, \text { 有 } D(x)=\lim\limits_{m \rightarrow \infty} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}[\cos m!\pi x]^{2 n}=0,
当 x 是有理数时, 设 p=\frac{q}{p}, p \in N, q 是整数, 且 p 与 q 互质
\exists m \geq p,[\cos m!\pi x]^2=1 \text {, 有 } D(x)=\lim\limits_{m \rightarrow \infty} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}[\cos m!\pi x]^{2 n}=1,
这是非初等函数一一狄利克莱函数 \mathrm{D}(\mathrm{x}) 的一个分析表达式。