问 . 怎样判别二元函数 f(x, y) 在点 \left(x_0, y_0\right) 不存在极限?
答：当然可以用二元函数 f(x, y) 在点 \left(x_0, y_0\right) 的极限定义的否定叙述进行判别。但太麻烦, 并有一定的技巧。不难证明下述定理:
若在函数 f(x, y) 的定义域 \mathrm{D} 中存在两条不同的连续曲线（或两个不同的点列）: 与 y=\psi(x) 。当 \varphi(x) \rightarrow y_0 与 \psi(x) \rightarrow y_0, 而 \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f[x, \varphi(x)]=A \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f[x, \psi(x)]=\mathbf{B},且 A \neq B 或这两个极限有一个存在另一个不存在, 则二元函数 f(x, y) 在点 \left(x_0, y_0\right) 不存在极限。
这是判别函数 f(x, y) 在点 \left(x_0, y_0\right) 不存在极限的简便的有效的方法。此法关在于选取这两条连续曲线（或两个不同的点列）。由于函数 f(x, y) 的结构不同, 选取的连续曲线也不同。最简单的连续曲线是选取过点 \left(x_0, y_0\right) 的不同的射线。如果函数 f(x, y) 中包含有 “ x^2+y^2 ”, 也常进行极坐标替换, 然后再选取不同的连续曲线。例如, 讨论下列的存在性：
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\lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^2-y^2+x^3-y^3}{x^2+y^2}
设 y=a x 与 y=b x, a \neq b 。 \lim_{x \rightarrow 0} a x=\lim_{x \rightarrow 0} b x=0 。有
\lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow a x}} \frac{x^2-y^2+x^3-y^3}{x^2+y^2}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-a^2\right)+x\left(1-a^2\right)}{1+a^2}=\frac{1-a^2}{1+a^2},
\lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow b x}} \frac{x^2-y^2+x^3-y^3}{x^2+y^2}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-b^2\right)+x\left(1-b^2\right)}{1+b^2}=\frac{1-b^2}{1+b^2}
因为 \frac{1-a^2}{1+a^2} \neq \frac{1-b^2}{1+b^2}(a \neq b),所以该极限不存在。 -
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}
设 \left\{\begin{array}{l}x=r \cos \varphi, \\ y=r \sin \varphi,\end{array}\right. ，当 \varphi=\varphi_1 与 \varphi=\varphi_2, 设 0 \leq \varphi_1 \leq \frac{\pi}{2}, 有
\begin{aligned} & \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\lim_{r \rightarrow 0}\left(\cos ^2 \varphi_1-\sin ^2 \varphi_1\right)=1-2 \sin ^2 \varphi_1, \\ & \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\lim_{r \rightarrow 0}\left(\cos ^2 \varphi_2-\sin ^2 \varphi_2\right)=1-2 \sin ^2 \varphi_2 \\ & 1-2 \sin ^2 \varphi_1 \neq 1-2 \sin ^2 \varphi_2\left(0 \leq \varphi_1 \leq \frac{\pi}{2}\right) \text { ，所以该极限不存在。 } \end{aligned}