问 . 向量函数的极限和连续是怎样定义的?
答：设 f 是定义在 A \subset R^n 上的向量函数, 即 f: A \rightarrow R^m, A \subset R^n . \mathrm{P} 是 A 的聚点。
定义 若 \exists B \in R^m, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 \forall x \in A: 0<|x-P|<\delta \Rightarrow|f(x)-B|<\varepsilon, 称 \mathrm{B} 是向量函数 f(x) 在点 \mathrm{P} 的极限, 表为 \lim_{x \rightarrow P} f(x)=B .
用领域叙述:
\lim_{x \rightarrow P} f(x)=B \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, 有 f\left[U^0(P, \delta) \cap A\right] \subset(B, e),
定义 若 P \in A, 且 \lim_{x \rightarrow P} f(x)=f(P), 称向量函数 f(x) 在点 \mathrm{P} 连续。
f(x) 在点 \mathrm{P} 连续 \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in A: 0<x-P \mid<\delta \Rightarrow|f(x)-f(P)|<\varepsilon
\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \text { 有 } f[U(P, \delta) \cap A] \subset U[f(P), \varepsilon] .