问 . 设函数组 x=x(u, v), y=y(u, v) 将开区域 \mathbf{D} 变换为开区域 \mathbf{G}, 并有连续偏导数。如是否存在由 \mathbf{G} 到 \mathbf{D} 的反函数组 x=x(u, v), y=y(u, v) （或 \mathbf{D} 与 \mathbf{G} 是一一对应的）?
答：不一定。定理 3 的推论指出:
若在某一点 d y=\frac{d f}{\partial x_1} d x_1+\frac{d f}{\partial x_2} d x_2+\cdots+\frac{d f}{\partial x_n} d x_n, \quad P\left(u_0, v_0\right) \in D, J\left(u_0, v_0\right) \neq 0 \quad, 则 存 在 点 Q\left(x_0, y_0\right)\left(x_0=x\left(u_0, v_0\right), y_0=\left(u_0, v_0\right)\right) 的某个邻域 U(Q) \subset G, 在 U(Q) 内存在反函数组 u=u(x, y), v=v(x, y), 即函数组 x=x(u, v), y=y(u, v), 在 D 内仅是局部一一对应的。在整个的开区域 D 内不一定是一一对应的。例如, 函数组
\left\{\begin{array}{l}
x=e^u \sin v, \\
y=e^u \cos v .
\end{array} \quad(u, v) \in R^2\right.
将 R^2 变换为 R^2, 并有连续偏导娄和, 且 \forall(u, v) \in R^2, 有
\begin{aligned} & J(u, v)=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll} e^u \sin v & e^u \cos v \\ e^u \cos v & -e^u \sin v \end{array}\right| \\ & =-e^{2 u}\left(\sin ^2 v+\cos ^2 v\right)=-e^{2 u} \neq 0 \end{aligned}
根据定理 3 的推论, 对任意一点 (u, v) \in R^2, 存在一个领域, 函数组在其上是一一对应的, 但是由 R^2 到 R^2 函数组并不是一一对应的。因为, 对任意二点 (u, v) 与 (u, v+2 \pi) 对应同一点 (x, y) 。