问 . 条件极值的充分条件是什么?
答：讨论函数 f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) 满足联系方程组
\left\{\begin{array}{l}
F_1\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=0 \\
F_2\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=0
\end{array}\right.
的条件极值。设函数 f, F_1, F_2 存在连续的二阶偏导数, 且点 P_0\left(x_1^0, x_2^0, x_3^0, x_4^0, \lambda_1^0, \lambda_2^0\right) 是辅助函数
\Phi=f+\lambda_1 F_1+\lambda_2 F_2
的稳定点。
函数 f 在点 M_0\left(x_1^0, x_2^0, x_3^0, x_4^0\right) 是否取条件极值, 取决于在点 P_0 的邻域内,差
\Delta=f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)-f\left(x_1^0, x_2^0, x_3^0, x_4^0\right)
的符号。
当 \lambda_1=\lambda_1^0 \lambda_2=\lambda_2^0 时, 函数 f 的改变量可改为辅助函数 \Phi 的改变量, 即
\Delta=\Phi\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)-\Phi\left(x_1^0, x_2^0, x_3^0, x_4^0\right)
根据多元函数的泰勒公式， (余项）展到二阶偏导数，已知二阶偏导数连续与 \frac{\partial \Phi}{\partial x_i}=0 \quad(i=1,2,3,4), 有 \Delta=\frac{1}{2}\left\{\sum_{i, k=1}^4 A_{i k} \Delta x_i \Delta x_k+\sum_{i, k=1}^4 \alpha_{i k} \Delta x_i \Delta x_k\right\}
其中
\Delta x_i=x_i-x_i^0, A_{i k}=\Phi_{x_i x_k}^{\prime \prime}\left(x_1^0, x_2^0, x_3^0, x_4^0\right), i, k=1,2,3,4
\alpha_{i, k} \rightarrow 0 (当 \sum_{i=1}^4 \Delta x_i^2 \rightarrow 0 )。因此当每个 \left|\Delta x_i\right| 充分小时, \Delta 的符号与二次型
\sum_{i, k=1}^4 A_{i k} \Delta x_i \Delta x_k\left(A_{i k}=A_{k i}\right)
的符号相同。
1)若二次型 \sum^{1, k=1} A_{i k} \Delta x_i \Delta x_k 是正定的, 即
\begin{aligned}
& A_{11}>0,\left|\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right|>0\left|\begin{array}{lll}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{array}\right|>0, \\
& \left|\begin{array}{llll}
A_{11} & A_{12} & A_{13} & A_{14} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} & A_{24} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33} & A_{34} \\
A_{41} & A_{42} & A_{43} & A_{44}
\end{array}\right|>0
\end{aligned}
则在点 M_0\left(x_1^0, x_2^0, x_3^0, x_4^0\right) 取条件极上值.
2)若二次型 \sum_{i, k=1}^4 A_{i k} \Delta x_i \Delta x_k 是负定的
\begin{aligned}
& A_{11}<0,\left|\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right|>0\left|\begin{array}{lll}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{array}\right|<0 \\
& \left|\begin{array}{llll}
A_{11} & A_{12} & A_{13} & A_{14} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} & A_{24} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33} & A_{34} \\
A_{41} & A_{42} & A_{43} & A_{44}
\end{array}\right|>0
\end{aligned}
则在点 M_0\left(x_1^0, x_2^0, x_3^0, x_4^0\right) 取条件极大值。
3)若二次型 \sum_{i, k=1}^4 A_{i k} \Delta x_i \Delta x_k 是不定的, 则在点 M_0\left(x_1^0, x_2^0, x_3^0, x_4^0\right) 不取条件极值。因为条件极值的充分条件很繁杂, 所以没有什么实用价值。