齐次微分方程 (Homogeneous ODE) VS 线性齐次微分方程 (Linear-Homogeneous ODE) 的区别是什么？其中的 “齐次” 有何异同？
齐次（“homogeneous”）一词在常微分方程（ODE）语境下有两种不同的含义:
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如果一个线性微分方程中没有不包含因变量的非零项, 则称其为齐次的，否则称为非齐次的。
因此, y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 是齐次的, 但 y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t) 是非齐次的 (除非 r 恰好为 0)。 -
形如 \frac{dy}{dx} = F(\frac{y}{x}) 的一阶方程被称为齐次的。（齐次方程）
这两个概念完全不同，彼此无关。
前者是线性方程的性质描述，后者则是方程形式的一种特定类型。
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“齐次” 一词的历史来源：这个术语首次由约翰·伯努利（Johann Bernoulli）应用于微分方程，1726年发表的《论微分方程的积分》（ De integraionibus aequationum differentialium (On the integration of differential equations)）一文的第9节中。
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齐次（微分）方程中的齐次，来源于齐次函数。
一个一阶微分方程若可写为如下形式
f(x, y) d y = g(x, y) dx,
其中 f 和 g 是 x 和 y 同阶的齐次函数，则称该一阶微分方程为齐次的。
在这种情况下，令 $y = ux$，可得如下可分离变量求解方程：
\frac{dx}x = h(u) du.
齐次方程的一般形式：
\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x})
其中 f 是 y/x 的函数,可以是线性函数,也可以是非线性函数。 -
齐次函数： 齐次函数 （英语：Homogenous）是一个有倍数性质的函数：如果变数乘以一个系数，则新函数会是原函数再乘上系数的某次方倍。例如:
- f(x, y, z) = x^5 y^2 z^3 为10次齐次函数，因为
(\alpha x)^5 (\alpha y)^2 (\alpha z)^3 = \alpha^{10} x^5 y^2 z^3 - x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4 为 5 次齐次多项式。（由同次数的单项式相加所组成的多项式）
- f(x, y, z) = x^5 y^2 z^3 为10次齐次函数，因为
扩展知识：齐次方程与尺度不变性
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什么是齐次微分方程?
齐次微分方程是一种所有项都具有相同次数的方程。这意味着所有变量都有相同的指数。换句话说,所有项都具有相同的尺度。 -
微分方程具有尺度不变性意味着什么?
具有尺度不变性的微分方程是指,即使变量被常数因子缩放,其解也保持不变的方程。换言之,解不受尺度变化的影响。 -
尺度不变微分方程的通解是什么?
尺度不变微分方程的通解是对所有可能的变量值都成立的解。它通常用任意常数表示。 -
初始条件在求解尺度不变微分方程中扮演什么角色?
初始条件是找到尺度不变微分方程的特解所必需的。这些条件指定了某一点处变量的值, 然后可以用来确定通解中任意常数的值。